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Alex

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29.08.2011, 14:52

Denkfehler bei "Es gibt für alle"-Aussagen

Hey Leute,

in einem Buch wird die folgende Aufgabe gestellt:

Zitat


Übersetzen sie folgende Aussagen in formale [latex]\forall \exists[/latex]-Aussagen
  • [...]
  • Es gibt eine reelle Zahl r, so dass r+x=r für alle [latex]x \in R[/latex]
    (neutrales Element bezüglich der Addition)
  • Es gibt eine reelle Zahl r, so dass r*x=r für alle [latex]x \in R[/latex]
    (neutrales Element bezüglich der Multiplikation)
  • [...]



Beide Aussagen wären allerdings falsch; oder irre ich mich da?
Es müsste doch heißen r+x=x bzw r*x=x, weil [latex]\exists r \in R \forall x \in R: r+x=r[/latex] falsch wäre, und [latex]\exists r \in R \forall x \in R: r*x=r[/latex] nicht das neutrale Element, sondern 0, beschreiben würde.

Ist mir da ein Denkfehler unterlaufen oder liegt der Fehler im Buch?

lG
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Zitat

Chuck Norris knows the state of schroedinger's cat.

εδε

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29.08.2011, 15:23

Der Fehler liegt hier im Buch.

Die Existenz eines neutralen Elements innerhalb einer Gruppe [latex]G[/latex] lautet:

[latex]\exist e \in G \ \forall g \in G \ : \ e \circ g = g[/latex]

Es existiert ein eindeutiges Element in [latex]G[/latex], so dass für alle Elemente in [latex]G[/latex] die Gleichung [latex]e \circ g = g[/latex] gilt.

In deinem speziellen Fall eben:

[latex]\exist r \in \mathbb{R} \ \forall x \in \mathbb{R} \ : \ r + x = x[/latex]

Achja, was ich vielleicht nebenbei erwähnen möchte:

Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen [latex]\forall \ldots \exist \ldots[/latex] und [latex]\exist \ldots \forall \ldots[/latex].
Ersteres bedeutet 'frei' übersetzt: Für alle Elemente existiert ein (unter Umständen individuelles) Element ...
Hingegen bedeutet Zweiteres: Es existiert ein eindeutiges Element, welches für alle Elemente ...


Grüße,
Ede


"Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht, daß man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne."



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Alex (29.08.2011)

Alex

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29.08.2011, 16:59

Dankeschön Ede :)

Oh, war mir gar nicht aufgefallen. Müsste natürlich im Zitat auch [latex]\exists \forall[/latex] heißen, das hab ich falsch aufgeschrieben..
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Erik

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30.08.2011, 20:46

Ist das schlimm, wenn man kein Wort versteht? :D
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Alex

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30.08.2011, 22:56

Wenn man sich nicht für Mathe interessiert glaube ich nein :D
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Johannes S.

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30.08.2011, 23:15

Ich weis nicht ob ich was verstehen würde, aber irgendwie kann ich mit den ganzen Zeichen, die von diesem "Mathe-BB-Codes" erzeugt werden nichts anfangen :D Die sehen irgendwie merkwürdig aus und ich erkenne nur die hälfte.
Aber ich vermute einfach mal, das es sich hier um ein Thema handelt, welches man nicht in der Schule bis zur 12/13 Klasse behandelt und ich daher die Zeichen noch nie geshen habe, da ich mich nicht wirklich viel extern weiterbilde, was darüber hinausgeht, was ich selbst durch logisches Denken feststelle (da lernt man ja keine Symbole :D).
Signatur ?

Alex

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30.08.2011, 23:20

Wann man das lernt weiß ich nicht.

[latex]\exists x \in \mathbb{R}: 3 < r < 5[/latex] das heißt dass es (mindestens) eine reelle Zahl x gibt die zwischen drei und fünf liegt..
[latex]\forall x \in \mathbb{N}: x \in \mathbb{R}[/latex] heißt dass alle natürlichen Zahlen auch reelle Zahlen sind..

und das weiter oben sind dann halt Zusammensetzungen davon xD
Stichwort: Existenzquantor und Allquantor :P
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Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Alex« (31.08.2011, 13:50)


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31.08.2011, 00:43

Ich musste auch feststellen, dass auf Quantoren, z.B in neueren Lehrbüchern, immer häufiger verzichtet wird und die entsprechende Aussage in Worten notiert wird. Was einem besser liegt ist wahrscheinlich Geschmackssache - Letztendlich soll es der Lesbarkeit dienen.

Sprich: So wichtig sind die Symbole nicht. Wichtig ist nur die Aussage dahinter zu verstehen :)

Achja Alex - Mit \mathbb{R}, bzw \mathbb{N} kannst du die reellen [latex]\mathbb{R}[/latex] und natürlichen [latex]\mathbb{N}[/latex] Zahlen darstellen. :P


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31.08.2011, 13:49

Da stimme ich dir zu Ede :)

Und danke für den Tipp ;)
Hab Latex privat noch nicht benutzt sondern ergoogle mit das jedesmal wenn ichs am PC benutze ^^
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31.08.2011, 19:22

Ist ja nicht so, dass ich mich nicht für Mathematik interessiere, aber bin erst zehnte, und wir machen grad Kreisfläche, Umfang etc. wohoo^^

Aber ihr seid ziemlich Pro, ihr müsst mir bei der nächsten Mathenacht mal helfen :D
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31.08.2011, 20:03

Ich close mal, Frage ist beantwortet, und wir werden ein wenig offtopic...

Können ja im Laberthema weiterreden ^^
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