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Simon

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1

11.11.2013, 09:56

Monotonie von rekursiven Folgen

Hey Leute :D
Auch wenns relativ ruhig hier in letzter Zeit ist stell ich mal eine Frage.

Angenommen wir haben eine rekursiv definierte Folge mit:
a_0 = 1
und
a_n = sqrt(2+a_n)+1

Wie kann ich nun zeigen, dass die Funktion monoton ist, ohne das ich direkt den Grenzwert bestimme?

Soll wohl über einen Induktiven Beweis gehen, aber ich komm nicht so ganz drauf. :D
Habt ihr da eine Idee?

Danke schonmal,
Simon :)

Johannes S.

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2

17.11.2013, 18:31

Ich gehe mal davon aus, dass die Funktion nicht als
a_n = sqrt(2+a_n)+1
sondern eher als
a_n = sqrt(2+a_(n-1)+1
definiert ist.

Ich habe es nicht überprüft aber ich denke mal die Funktion steigt (und nicht fällt). Man zeigt als erstes wie bei der Induktion üblich, dass a_1 >= a_0 gilt und der Induktionsschritt sieht dan wohl ungefähr so aus:

IV: a_n >= a_(n-1).
Zu zeigen: a_(n+1) >= a_n

a_n >= a_(n-1)
=> sqrt(2+a_n)+1 >= sqrt(2+a_(n-1))+1
=> a_(n+1) >= a_n

Es vieleicht müsst ihr den 2. Schritt noch etwas genauer erklären.
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Simon (17.11.2013)

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3

17.11.2013, 18:33

Hmm ja, so hab ichs dann auch gemacht. Erschien mir aber irgendwie komisch.
Stand auch kein Kommentar von meiner Tutorin daneben, scheint also gereicht zu haben. :D